Ступенчатая форма матрицы. Диагональные матрицы. Определение матрицы и её элемента. Обозначения

Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4), нужно выполнить следующие действия.

1. В первом столбце выбрать элемент, отличный от нуля (ведущий элемент ). Строку с ведущим элементом (ведущая строка ), если она не первая, переставить на место первой строки (преобразование I типа). Если в первом столбце нет ведущего (все элементы равны нулю), то исключаем этот столбец, и продолжаем поиск ведущего элемента в оставшейся части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые.

2. Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование II типа). Если ведущая строка последняя, то на этом преобразования следует закончить.

3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим оказались равными нулю (преобразование III типа).

4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются к оставшейся части матрицы.

Теорема про розклад визначника по елементам рядка.

Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца позволяет свести вычисление определителя - го порядка () к вычислению определителей порядка.

Если определитель имеет равные нулю элементы, то удобнее всего разлагать определитель по элементам той строки или столбца, который содержит наибольшее число нулей.

Используя свойства определителей, можно преобразовать определитель - го порядка так, чтобы все элементы некоторой строки или столбца, кроме одного, стали равными нулю. Таким образом, вычисление определителя- го порядка, если он отличен от нуля, сведется к вычислению одного определителя- го порядка.

Задача 3.1. Вычислить определитель

Решение. Прибавив ко второй строке первую, к третьей – первую, умноженную на 2, к четвертой – первую, умноженную на -5, получим

Разлагая определитель по элементам первого столбца, имеем

.

В полученном определителе 3-го порядка обратим в нуль все элементы первого столбца, кроме первого. Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-1), к третьей, умноженной на 5, прибавим первую, умноженную на 8. Так как умножали третью строку на 5, то (для того, чтобы определитель не изменился) умножим его на . Имеем

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Теорема Лапласа(1). Теорема про чужі доповнення(2)

1)Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения.

2)Сумма произведений элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой его строки равна нулю (теорема об умножении на чужие алгебраические дополнения).

Всякая точка на плоскости при выбранной системе координат задается парой (α, β) своих координат; числа α и β можно понимать также как координаты радиуса-вектора с концом в этой точке. Аналогично, в пространстве тройка (α, β, γ) определяет точку или вектор с координатами α, β, γ. Именно на этом основывается хорошо известная читателю геометрическая интерпретация систем линейных уравнений с двумя или тремя неизвестными. Так, в случае системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

а 1 х + b 1 у = с 1 ,

а 2 х + b 2 у = с 2

каждое из уравнений истолковывается как прямая на плоскости (см. рис. 26), а решение (α, β) - как точка пересечения этих прямых или как вектор с координатами аир (рисунок соответствует случаю, когда система имеет единственное решение).

Рис. 26

Аналогично можно поступить с системой линейных уравнений с тремя неизвестными, интерпретируя каждое уравнение как уравнение плоскости в пространстве.

В математике и различных ее приложениях (в частности, в теории кодирования) приходится иметь дело с системами линейных уравнений, содержащих более трех неизвестных. Системой линейных уравнений с n неизвестными x 1 , х 2 , ..., х n называется совокупность уравнений вида

а 11 х 1 + а 12 х 2 + ... + а 1n х n = b 1 ,

а 21 х 1 + а 22 х 2 + ... + а 2n х n = b 2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

а m1 х 1 + а m2 х 2 + ... + а mn х n = b m ,

где a ij и b i - произвольные действительные числа. Число уравнений в системе может быть любым и никак не связано с числом неизвестных. Коэффициенты при неизвестных а ij имеют двойную нумерацию: первый индекс i указывает номер уравнения, второй индекс j - номер неизвестного, при котором стоит данный коэффициент.

Всякое решение системы понимается как набор (действительных) значений неизвестных (α 1 , α 2 , ..., α n ), обращающих каждое уравнение в верное равенство.

Хотя непосредственное геометрическое истолкование системы (1) при n > 3 уже невозможно, однако вполне возможно и во многих отношениях удобно распространить на случай произвольного n геометрический язык пространства двух или трех измерений. Этой цели и служат дальнейшие определения.

Всякий упорядоченный набор из n действительных чисел (α 1 , α 2 , ..., α n ) называется n-мерным арифметическим вектором, а сами числа α 1 , α 2 , ..., α n - координатами этого вектора.

Для обозначения векторов используется, как правило, жирный шрифт и для вектора а с координатами α 1 , α 2 , ..., α n сохраняется обычная форма записи:

а = (α 1 , α 2 , ..., α n).

По аналогии с обычной плоскостью множество всех n-мерных векторов, удовлетворяющих линейному уравнению с n неизвестными, называют гиперплоскостью в n-мерном пространстве. При таком определении множество всех решений системы (1) есть не что иное, как пересечение нескольких гиперплоскостей.

Сложение и умножение n-мерных векторов определяются по тем же правилам, что и для обычных векторов. А именно, если

а = (α 1 , α 2 , ..., α n), b = (β 1 , β 2 , ..., β n) (2)

Два n-мерных вектора, то их суммой называется вектор

α + β = (α 1 + β 1 , α 2 + β 2 , ..., α n + β n). (3)

Произведением вектора а на число λ называется вектор

λа = (λα 1 , λα 2 , ..., λα n). (4)

Множество всех n-мерных арифметических векторов с операциями сложения векторов и умножения вектора на число называется арифметическим n-мерным векторным пространством L n .

Используя введенные операции, можно рассматривать произвольные линейные комбинации нескольких векторов, т. е. выражения вида

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k ,

где λ i - действительные числа. Например, линейная комбинация векторов (2) с коэффициентами λ и μ - это вектор

λа + μb = (λα 1 + μβ 1 , λα 2 + μβ 2 , ..., λα n + μβ n).

В трехмерном пространстве векторов особую роль играет тройка векторов i, j, k (координатные орты), по которым разлагается любой вектор а:

a = xi + yj + zk,

где х, у, z - действительные числа (координаты вектора а).

В n-мерном случае такую же роль играет следующая система векторов:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

e n = (0, 0, 0, ..., 1).

Всякий вектор а есть, очевидно, линейная комбинация векторов е 1 , e 2 , ..., e n:

а = а 1 е 1 + а 2 е 2 + ... + а n е n , (6)

причем коэффициенты α 1 , α 2 , ..., α n совпадают с координатами вектора а.

Обозначая через 0 вектор, все координаты которого равны нулю (кратко, нулевой вектор), введем следующее важное определение:

Система векторов а 1 , а 2 , ..., а k называется линейно зависимой, если существует равная нулевому вектору линейная комбинация

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,

в которой хотя бы один из коэффициентов h 1 , λ 2 , ..., λ k отличен от нуля. В противном случае система называется линейно независимой.

Так, векторы

а 1 = (1, 0, 1, 1), а 2 = (1, 2, 1, 1), а 3 = (2, 2, 2, 2)

линейно зависимы, поскольку

a 1 + a 2 - а 3 = 0.

Линейная зависимость, как видно из определения, равносильна (при k ≥ 2) тому, что хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных.

Если система состоит из двух векторов a 1 , а 2 , то линейная зависимость системы означает, что один из векторов пропорционален другому, скажем, а 1 = λа 2 ; в трехмерном случае это равносильно коллинеарности векторов а 1 и а 2 . Точно так же линейная зависимость системы I из трех векторов в обычном пространстве означает компланарность этих векторов. Понятие линейной зависимости является, таким образом, естественным обобщением понятий коллинеарности и компланарности.

Нетрудно убедиться, что векторы е 1 , е 2 , ..., е n из системы (5) линейно независимы. Следовательно, в n-мерном пространстве существуют системы из n линейно независимых векторов. Можно показать, что всякая система из большего числа векторов линейно зависима.

Всякая система a 1 , а 2 , ..., а n из n линейно независимых векторов n-мерного пространства L n называется его базисом.

Любой вектор а пространства L n раскладывается, и притом единственным образом, по векторам произвольного базиса a 1 , а 2 , ..., а n:

а = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n .

Этот факт легко устанавливается на основании определения базиса.

Продолжая аналогию с трехмерным пространством, можно и в n-мерном случае определить скалярное произведение а · b векторов, полагая

a · b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n .

При таком определении сохраняются все основные свойства скалярного произведения трехмерных векторов. Векторы а и b называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

В теории линейных кодов используется еще одно важное понятие - понятие подпространства. Подмножество V пространства L n называется подпространством этого пространства, если

1) для любых векторов а, b, принадлежащих V, их сумма а + b также принадлежит V;

2) для любого вектора а, принадлежащего V, и для любого действительного числа λ вектор λа также принадлежит V.

Например, множество всех линейных комбинаций векторов e 1 , е 2 из системы (5) будет подпространством пространства L n .

В линейной алгебре доказывается, что во всяком подпространстве V существует такая линейно независимая система векторов a 1 , a 2 , ..., a k , что всякий вектор а подпространства является линейной комбинацией этих векторов:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k .

Указанная система векторов называется базисом подпространства V.

Из определения пространства и подпространства непосредственно следует, что пространство L n есть коммутативная группа относительно операции сложения векторов, а любое его подпространство V является подгруппой этой группы. В этом смысле можно, например, рассматривать смежные классы пространства L n по подпространству V.

В заключение подчеркнем, что если в теории n-мерного арифметического пространства вместо действительных чисел (т. е. элементов поля действительных чисел) рассматривать элементы произвольного поля F, то все определения и факты, приведенные выше, сохранили бы силу.

В теории кодирования важную роль играет случай, когда поле F поле вычетов Z p , которое, как мы знаем, конечно. В этом случае соответствующее n-мерное пространство также конечно и содержит, как нетрудно видеть, р n элементов.

Понятие пространства, как и понятия группы и кольца, допускает также и аксиоматическое определение. За подробностями мы отсылаем Питателя к любому курсу линейной алгебры.

Лінійна комбінація. Лінійно залежні та незалежні системи векторів.

инейная комбинация векторов

Линейной комбинацией векторов называют вектор

где - коэффициенты линейной комбинации. Есликомбинация называется тривиальной, если- нетривиальной.

Линейная зависимость и независимость векторов

Система линейно зависимачто

Система линейно независима

Критерий линейной зависимости векторов

Для того чтобы векторы (r > 1 ) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

Размерность линейного пространства

Линейное пространство V называетсяn -мерным (имеет размерностьn ), если в нем:

1) существует n линейно независимых векторов;

2) любая система n + 1 векторов линейно зависима.

Обозначения: n = dimV ;.

Система векторов называетсялинейно зависимой, если существуетненулевой наборчиселтаких, что линейная комбинация

Система векторов называетсялинейно независимой, если из равенства нулю линейной комбинации

следует равенство нулювсех коэффициентов

Вопрос о линейной зависимости векторов в общем случае сводится к вопросу о существовании ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений с коэффициентами, равными соответствующим координатам данных векторов.

Для того чтобы хорошо усвоить понятия «линейная зависимость», «линейная независимость» системы векторов, полезно решить задачи следующего типа:

Лінійна залежність.І і ІІ критерії лінійної залежності.

Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

Доказательство . Пусть система векторов линейно зависима. Тогда существует такой набор коэффициентов , что , причем хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Предположим, что . Тогда

то есть является линейной комбинацией остальных векторов системы.

Пусть один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов. Предположим, что это вектор , то есть . Очевидно, что . Получили, что линейная комбинация векторов системы равна нулю, причем один из коэффициентов отличен от нуля (равен ).

Предложение 10 . 7 Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима.

Доказательство .

Пусть в системе векторов подсистема , , является линейно зависимой, то есть , и хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Тогда составим линейную комбинацию . Очевидно, что эта линейная комбинация равна нулю, и что среди коэффициентов есть ненулевой.

База системи векторів, її основна властивість.

Базой ненулевой системы векторов называется эквивалентная ей линейно независимая подсистема. Нулевая система базы не имеет.

Свойство 1: База линейной независимой системы совпадает с ней самой.

Пример: Система линейно независимых векторов поскольку ни один из векторов не может быть линейно вырожен через остальные.

Свойство 2:(Критерий Базы) Линейно независимая подсистема данной системы является её базой тогда и только тогда, когда она максимально линейно независима.

Доказательство: Дана система Необходимость Пусть база . Тогда по определению и, если , где , система линейно зависима, так как линейно вырожается через , следовательно максимально линейно независима. Достаточность Пусть максимально линейно независимая подсистема, тогда где . линейно зависима линейно вырожается через следовательно база системы .

Свойство 3:(Основное свойство базы) Каждый вектор системы вырожается через базу единственным образом.

Доказательство Пусть вектор вырожается через базу двумя способами, тогда: , тогда

Ранг системи векторів.

Для нахождения ранга системы векторов, нужно использовать метод Гауссаи привести систему к треугольной или трапециевидной форме.

Еквівалентні системи векторів.

Пример:

Преобразуем данные вектора в матрицу для нахождения базы. Получим:

Теперь при помощи метода Гаусса будем преобразоывавать матрицу к трапецеидальному виду:

1) В нашей основной матрице, будем анулировать весь первый столбец кроме первой строки от второй отнимим первую умноженную на , от третьей отнимим первую умноженную на , а от четвётой мы ничего не будем отнимать так как первый элемент четвёртой строки, то есть пересечение первого столбца и четвёртой строки, равен нулю. Получим матрицу : 2) Теперь в матрице , поменяем местами строки 2, 3 и 4 для простоты решения, что бы на месте элемента была еденица. Четвёртую строку поменяем поставим вместо второй, вторую вместо третьей и третью на место четвёртой. Получим матрицу : 3)В матрице анулируем все элементы под элементом . Поскольку вновь элемент нашей матреци равен нулю, мы ничего не отнимаем от четвёртой строки, а к третьей добавим вторую умноженную на . Получим матрицу : 4)Вновь поменяем в матрице строки 3 и 4 местами. Получим матрицу : 5)В матрицеприбавим к червётрой строке третью, умноженную на 5. Получим матрицу, которая будет иметь треугольный вид:

Системы , их ранги совпадают в силу свойств ранга и их ранг равен rank rank

Замечания: 1) В отличие от традиционного метода Гаусса, если в строке матрицы все элементы делятся на определённое число, мы не имеем право сокращать строку матрицы в силу действия свойств матрицы. Если мы захотим сократить строку на определённое число, придётся сокращать всю матрицу на это число. 2) В случае, если мы получим линейно зависящую строку, мы можем её убрать из нашей матрицы и заменить на нулевую строку. Пример: Сразу видно что вторая строка выражается через первую, если домножить первую на 2. В тиаком случае можем заменить всю вторую строку на нулевую. Получим: В итоге, приведя матрицу, либо к треугольному, либо к трапецеидальному виду, где у неё нету линейно зависящих векторов, все не нулевые векторы матрицы и будут базой матрицы, а их количество рангом.

Вот так же пример системы векторов в виде графика: Дана система где , , и . Базой данной системы очевидно буду вектора и , поскольку через них выражаются векторы . Данная система в графическом виде будет иметь вид:

Елементарні перетворення. Системи ступінчатого виду.

Элементарные преобразования матрицы - это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

Элементарными преобразованиями строк называют:

В некоторых курсах линейной алгебры перестановка строк матрицы не выделяется в отдельное элементарное преобразование в силу того, что перестановку местами любых двух строк матрицы можно получить, используя умножение любой строки матрицы на константу , и прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу , .

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов .

Элементарные преобразования обратимы .

Обозначение указывает на то, что матрица может быть получена из путём элементарных преобразований (или наоборот).

Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4), нужно выполнить следующие действия.

1. В первом столбце выбрать элемент, отличный от нуля (ведущий элемент ). Строку с ведущим элементом (ведущая строка ), если она не первая, переставить на место первой строки (преобразование I типа). Если в первом столбце нет ведущего (все элементы равны нулю), то исключаем этот столбец, и продолжаем поиск ведущего элемента в оставшейся части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые.

2. Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование II типа). Если ведущая строка последняя, то на этом преобразования следует закончить.

3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим оказались равными нулю (преобразование III типа).

4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются к оставшейся части матрицы.

Теорема про розклад визначника по елементам рядка.

Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца позволяет свести вычисление определителя - го порядка () к вычислению определителей порядка.

Если определитель имеет равные нулю элементы, то удобнее всего разлагать определитель по элементам той строки или столбца, который содержит наибольшее число нулей.

Используя свойства определителей, можно преобразовать определитель - го порядка так, чтобы все элементы некоторой строки или столбца, кроме одного, стали равными нулю. Таким образом, вычисление определителя- го порядка, если он отличен от нуля, сведется к вычислению одного определителя- го порядка.

Задача 3.1. Вычислить определитель

Решение. Прибавив ко второй строке первую, к третьей – первую, умноженную на 2, к четвертой – первую, умноженную на -5, получим

Разлагая определитель по элементам первого столбца, имеем

.

В полученном определителе 3-го порядка обратим в нуль все элементы первого столбца, кроме первого. Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-1), к третьей, умноженной на 5, прибавим первую, умноженную на 8. Так как умножали третью строку на 5, то (для того, чтобы определитель не изменился) умножим его на . Имеем

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Теорема Лапласа(1). Теорема про чужі доповнення(2)

1)Определительравенсуммепроизведений элементов какой-либо строки на ихалгебраическиедополнения.

2)Суммапроизведенийэлементовкакой-либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой его строки равна нулю (теорема об умножении на чужие алгебраические дополнения).

Всякая точка на плоскости при выбранной системе координат задается парой (α, β) своих координат; числа α и β можно понимать также как координаты радиуса-вектора с концом в этой точке. Аналогично, в пространстве тройка (α, β, γ) определяет точку или вектор с координатами α, β, γ. Именно на этом основывается хорошо известная читателю геометрическая интерпретация систем линейных уравнений с двумя или тремя неизвестными. Так, в случае системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

а 1 х + b 1 у = с 1 ,

а 2 х + b 2 у = с 2

каждое из уравнений истолковывается как прямая на плоскости (см. рис. 26), а решение (α, β) - как точка пересечения этих прямых или как вектор с координатами аир (рисунок соответствует случаю, когда система имеет единственное решение).

Рис. 26

Аналогично можно поступить с системой линейных уравнений с тремя неизвестными, интерпретируя каждое уравнение как уравнение плоскости в пространстве.

В математике и различных ее приложениях (в частности, в теории кодирования) приходится иметь дело с системами линейных уравнений, содержащих более трех неизвестных. Системой линейных уравнений с n неизвестными x 1 , х 2 , ..., х n называется совокупность уравнений вида

а 11 х 1 + а 12 х 2 + ... + а 1n х n = b 1 ,

а 21 х 1 + а 22 х 2 + ... + а 2n х n = b 2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

а m1 х 1 + а m2 х 2 + ... + а mn х n = b m ,

где a ij и b i - произвольные действительные числа. Число уравнений в системе может быть любым и никак не связано с числом неизвестных. Коэффициенты при неизвестных а ij имеют двойную нумерацию: первый индекс i указывает номер уравнения, второй индекс j - номер неизвестного, при котором стоит данный коэффициент. Всякое решение системы понимается как набор (действительных) значений неизвестных (α 1 , α 2 , ..., α n), обращающих каждое уравнение в верное равенство.

Хотя непосредственное геометрическое истолкование системы (1) при n > 3 уже невозможно, однако вполне возможно и во многих отношениях удобно распространить на случай произвольного n геометрический язык пространства двух или трех измерений. Этой цели и служат дальнейшие определения.

Всякий упорядоченный набор из n действительных чисел (α 1 , α 2 , ..., α n) называется n-мерным арифметическим вектором, а сами числа α 1 , α 2 , ..., α n - координатами этого вектора.

Для обозначения векторов используется, как правило, жирный шрифт и для вектора а с координатами α 1 , α 2 , ..., α n сохраняется обычная форма записи:

а = (α 1 , α 2 , ..., α n).

По аналогии с обычной плоскостью множество всех n-мерных векторов, удовлетворяющих линейному уравнению с n неизвестными, называют гиперплоскостью в n-мерном пространстве. При таком определении множество всех решений системы (1) есть не что иное, как пересечение нескольких гиперплоскостей.

Сложение и умножение n-мерных векторов определяются по тем же правилам, что и для обычных векторов. А именно, если

а = (α 1 , α 2 , ..., α n), b = (β 1 , β 2 , ..., β n) (2)

Два n-мерных вектора, то их суммой называется вектор

α + β = (α 1 + β 1 , α 2 + β 2 , ..., α n + β n). (3)

Произведением вектора а на число λ называется вектор

λа = (λα 1 , λα 2 , ..., λα n). (4)

Множество всех n-мерных арифметических векторов с операциями сложения векторов и умножения вектора на число называется арифметическим n-мерным векторным пространством L n .

Используя введенные операции, можно рассматривать произвольные линейные комбинации нескольких векторов, т. е. выражения вида

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k ,

где λ i - действительные числа. Например, линейная комбинация векторов (2) с коэффициентами λ и μ - это вектор

λа + μb = (λα 1 + μβ 1 , λα 2 + μβ 2 , ..., λα n + μβ n).

В трехмерном пространстве векторов особую роль играет тройка векторов i, j, k (координатные орты), по которым разлагается любой вектор а:

a = xi + yj + zk,

где х, у, z - действительные числа (координаты вектора а).

В n-мерном случае такую же роль играет следующая система векторов:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

e n = (0, 0, 0, ..., 1).

Всякий вектор а есть, очевидно, линейная комбинация векторов е 1 , e 2 , ..., e n:

а = а 1 е 1 + а 2 е 2 + ... + а n е n , (6)

причем коэффициенты α 1 , α 2 , ..., α n совпадают с координатами вектора а.

Обозначая через 0 вектор, все координаты которого равны нулю (кратко, нулевой вектор), введем следующее важное определение:

Система векторов а 1 , а 2 , ..., а k называется линейно зависимой, если существует равная нулевому вектору линейная комбинация

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,

в которой хотя бы один из коэффициентов h 1 , λ 2 , ..., λ k отличен от нуля. В противном случае система называется линейно независимой.

Так, векторы

а 1 = (1, 0, 1, 1), а 2 = (1, 2, 1, 1), а 3 = (2, 2, 2, 2)

линейно зависимы, поскольку

a 1 + a 2 - а 3 = 0.

Линейная зависимость, как видно из определения, равносильна (при k ≥ 2) тому, что хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных.

Если система состоит из двух векторов a 1 , а 2 , то линейная зависимость системы означает, что один из векторов пропорционален другому, скажем, а 1 = λа 2 ; в трехмерном случае это равносильно коллинеарности векторов а 1 и а 2 . Точно так же линейная зависимость системы I из трех векторов в обычном пространстве означает компланарность этих векторов. Понятие линейной зависимости является, таким образом, естественным обобщением понятий коллинеарности и компланарности.

Нетрудно убедиться, что векторы е 1 , е 2 , ..., е n из системы (5) линейно независимы. Следовательно, в n-мерном пространстве существуют системы из n линейно независимых векторов. Можно показать, что всякая система из большего числа векторов линейно зависима.

Всякая система a 1 , а 2 , ..., а n из n линейно независимых векторов n-мерного пространства L n называется его базисом.

Любой вектор а пространства L n раскладывается, и притом единственным образом, по векторам произвольного базиса a 1 , а 2 , ..., а n:

а = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n .

Этот факт легко устанавливается на основании определения базиса.

Продолжая аналогию с трехмерным пространством, можно и в n-мерном случае определить скалярное произведение а · b векторов, полагая

a · b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n .

При таком определении сохраняются все основные свойства скалярного произведения трехмерных векторов. Векторы а и b называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

В теории линейных кодов используется еще одно важное понятие - понятие подпространства. Подмножество V пространства L n называется подпространством этого пространства, если

1) для любых векторов а, b, принадлежащих V, их сумма а + b также принадлежит V;

2) для любого вектора а, принадлежащего V, и для любого действительного числа λ вектор λа также принадлежит V.

Например, множество всех линейных комбинаций векторов e 1 , е 2 из системы (5) будет подпространством пространства L n .

В линейной алгебре доказывается, что во всяком подпространстве V существует такая линейно независимая система векторов a 1 , a 2 , ..., a k , что всякий вектор а подпространства является линейной комбинацией этих векторов:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k .

Указанная система векторов называется базисом подпространства V.

Из определения пространства и подпространства непосредственно следует, что пространство L n есть коммутативная группа относительно операции сложения векторов, а любое его подпространство V является подгруппой этой группы. В этом смысле можно, например, рассматривать смежные классы пространства L n по подпространству V.

В заключение подчеркнем, что если в теории n-мерного арифметического пространства вместо действительных чисел (т. е. элементов поля действительных чисел) рассматривать элементы произвольного поля F, то все определения и факты, приведенные выше, сохранили бы силу.

В теории кодирования важную роль играет случай, когда поле F поле вычетов Z p , которое, как мы знаем, конечно. В этом случае соответствующее n-мерное пространство также конечно и содержит, как нетрудно видеть, р n элементов.

Понятие пространства, как и понятия группы и кольца, допускает также и аксиоматическое определение. За подробностями мы отсылаем Питателя к любому курсу линейной алгебры.

Лінійна комбінація. Лінійно залежні та незалежні системи векторів.

инейная комбинация векторов

Линейной комбинацией векторов называют вектор

где - коэффициенты линейной комбинации. Есликомбинация называется тривиальной, если- нетривиальной.

Линейная зависимость и независимость векторов

Система линейно зависимачто

Система линейно независима

Критерий линейной зависимости векторов

Для того чтобы векторы (r > 1 ) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

Размерность линейного пространства

Линейное пространство V называетсяn -мерным (имеет размерностьn ), если в нем:

1) существует n линейно независимых векторов;

2) любая система n + 1 векторов линейно зависима.

Обозначения: n = dimV ;.

Система векторов называетсялинейно зависимой, если существуетненулевой наборчиселтаких, что линейная комбинация

Система векторов называетсялинейно независимой, если из равенства нулю линейной комбинации

следует равенство нулювсех коэффициентов

Вопрос о линейной зависимости векторов в общем случае сводится к вопросу о существовании ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений с коэффициентами, равными соответствующим координатам данных векторов.

Для того чтобы хорошо усвоить понятия «линейная зависимость», «линейная независимость» системы векторов, полезно решить задачи следующего типа:

Лінійна залежність.І і ІІ критерії лінійної залежності.

Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

Доказательство . Пусть система векторов линейно зависима. Тогда существует такой набор коэффициентов , что , причем хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Предположим, что . Тогда

то есть является линейной комбинацией остальных векторов системы.

Пусть один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов. Предположим, что это вектор , то есть . Очевидно, что . Получили, что линейная комбинация векторов системы равна нулю, причем один из коэффициентов отличен от нуля (равен ).

Предложение 10 . 7 Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима.

Доказательство .

Пусть в системе векторов подсистема , , является линейно зависимой, то есть , и хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Тогда составим линейную комбинацию . Очевидно, что эта линейная комбинация равна нулю, и что среди коэффициентов есть ненулевой.

База системи векторів, її основна властивість.

Базой ненулевой системы векторов называется эквивалентная ей линейно независимая подсистема. Нулевая система базы не имеет.

Свойство 1: База линейной независимой системы совпадает с ней самой.

Пример: Система линейно независимых векторов поскольку ни один из векторов не может быть линейно вырожен через остальные.

Свойство 2:(Критерий Базы) Линейно независимая подсистема данной системы является её базой тогда и только тогда, когда она максимально линейно независима.

Доказательство: Дана система Необходимость Пусть база . Тогда по определению и, если , где , система линейно зависима, так как линейно вырожается через , следовательно максимально линейно независима. Достаточность Пусть максимально линейно независимая подсистема, тогда где . линейно зависима линейно вырожается через следовательно база системы .

Свойство 3:(Основное свойство базы) Каждый вектор системы вырожается через базу единственным образом.

Доказательство Пусть вектор вырожается через базу двумя способами, тогда: , тогда

Ранг системи векторів.

Для нахождения ранга системы векторов, нужно использовать метод Гауссаи привести систему к треугольной или трапециевидной форме.

Еквівалентні системи векторів.

Пример:

Преобразуем данные вектора в матрицу для нахождения базы. Получим:

Теперь при помощи метода Гаусса будем преобразоывавать матрицу к трапецеидальному виду:

1) В нашей основной матрице, будем анулировать весь первый столбец кроме первой строки от второй отнимим первую умноженную на , от третьей отнимим первую умноженную на , а от четвётой мы ничего не будем отнимать так как первый элемент четвёртой строки, то есть пересечение первого столбца и четвёртой строки, равен нулю. Получим матрицу : 2) Теперь в матрице , поменяем местами строки 2, 3 и 4 для простоты решения, что бы на месте элемента была еденица. Четвёртую строку поменяем поставим вместо второй, вторую вместо третьей и третью на место четвёртой. Получим матрицу : 3)В матрице анулируем все элементы под элементом . Поскольку вновь элемент нашей матреци равен нулю, мы ничего не отнимаем от четвёртой строки, а к третьей добавим вторую умноженную на . Получим матрицу : 4)Вновь поменяем в матрице строки 3 и 4 местами. Получим матрицу : 5)В матрицеприбавим к червётрой строке третью, умноженную на 5. Получим матрицу, которая будет иметь треугольный вид:

Системы , их ранги совпадают в силу свойств ранга и их ранг равен rank rank

Замечания: 1) В отличие от традиционного метода Гаусса, если в строке матрицы все элементы делятся на определённое число, мы не имеем право сокращать строку матрицы в силу действия свойств матрицы. Если мы захотим сократить строку на определённое число, придётся сокращать всю матрицу на это число. 2) В случае, если мы получим линейно зависящую строку, мы можем её убрать из нашей матрицы и заменить на нулевую строку. Пример: Сразу видно что вторая строка выражается через первую, если домножить первую на 2. В тиаком случае можем заменить всю вторую строку на нулевую. Получим: В итоге, приведя матрицу, либо к треугольному, либо к трапецеидальному виду, где у неё нету линейно зависящих векторов, все не нулевые векторы матрицы и будут базой матрицы, а их количество рангом.

Вот так же пример системы векторов в виде графика: Дана система где , , и . Базой данной системы очевидно буду вектора и , поскольку через них выражаются векторы . Данная система в графическом виде будет иметь вид:

Елементарні перетворення. Системи ступінчатого виду.

Элементарные преобразования матрицы - это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

Элементарными преобразованиями строк называют:

В некоторых курсах линейной алгебры перестановка строк матрицы не выделяется в отдельное элементарное преобразование в силу того, что перестановку местами любых двух строк матрицы можно получить, используя умножение любой строки матрицы на константу , и прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу , .

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов .

Элементарные преобразования обратимы .

Обозначение указывает на то, что матрица может быть получена из путём элементарных преобразований (или наоборот).

Определение. Ступенчатой будем называть матрицу, которая обладает следующими свойствами:

1) если i-я строка нулевая, то (I + 1)-я строка также нулевая,

2) если первые ненулевые элементы i-й и (I + 1)-й строк расположены в столбцах с номерами k и R, соответственно, то k < R.

Условие 2) требует обязательного увеличения нулей слева при переходе от i-й строки к (I + 1)-й строке. Например, матрицы

А 1 = , А 2 =
, А 3 =

является ступенчатыми, а матрицы

В 1 = , В 2 = , В 3 =

ступенчатыми не являются.

Теорема 5.1. Любую матрицу можно привести к ступенчатой с помощью элементарных преобразований строк матрицы.

Проиллюстрируем эту теорему на примере.

А=

Получившаяся матрица ─ ступенчатая.

Определение. Рангом матрицы будем называть число ненулевых строк в ступенчатом виде этой матрицы.

Например, ранг матрицы А в предыдущем примере равен 3.

Лекция 6.

Определители, их свойства. Обратная матрица и её вычисление.

Определители второго порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка

А =

Определение. Определителем второго порядка, соответствующим матрице А,называется число, вычисляемое по формуле

│А│= = .

Элементы a ij называются элементами определителя │А│, элементы а 11 , а 22 образуют главную диагональ , а элементы а 12 , а 21 ─ побочную.

Пример. = -28 + 6 = -22

Определители третьего порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка

А =

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице А, называется число, вычисляемое по формуле

│А│= =

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства следует брать со знаком «плюс», а какие ─ со знаком «минус», полезно запомнить правило, называемое правилом треугольника.

= ─

Примеры:

1) = - 4 + 0 + 4 – 0 + 2 +6 = 8

2) = 1, т.е. │Е 3 │= 1.

Рассмотрим ещё один способ вычисления определителя третьего порядка.

Определение. Минором элемента a ij определителя называется определитель, полученный из данного вычёркиванием i-й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij определителя называется его минор M ij , взятый со знаком (-1) i+ j .

Пример. Вычислим минор М 23 и алгебраическое дополнение А 23 элемента а 23 в матрице

А =

Вычислим минор М 23:

М 23 = = = - 6 + 4 = -2

А 23 = (-1) 2+3 М 23 = 2

Теорема 1. Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Док-во. По определению

= (1)

Выберем, например, вторую строку и найдём алгебраическое дополнение А 21 , А 22 , А 23:

А 21 = (-1) 2+1 = -() =

А 22 = (-1) 2+2 =

А 23 = (-1) 2+3 = - () =

Преобразуем теперь формулу (1)

│А│= () + () + () = А 21 + А 22 + А 23

│А│= А 21 + А 22 + А 23

называется разложением определителя │А│ по элементам второй строки. Аналогично разложение можно получить по элементам других строк и любого столбца.

Пример.

= (по элементам второго столбца) = 1× (-1) 1+2 + 2 × (-1) 2+2 +

+ (-1)(-1) 3+2 = - (0 + 15) + 2(-2 +20) + (-6 +0) = -15 +36 – 6 = 15.

6.3. Определитель n-го порядка (n Î N).

Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим матрице n-го порядка

А =

Называется число, равное сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

│A│= А i1 + A i2 + … + A in = А 1j + A 2j + … + A nj

Нетрудно заметить, что при n = 2 получается формула для вычисления определителя второго порядка.

Пример. = (по элементам 4-й строки) = 3×(-1) 4+2 +

2×(-1) 4+4 = 3(-6 + 20 – 2 – 32) +2(-6 +16 +60 +2)=3(-20) +2×72 = -60 +144 = 84.

Заметим, что если в определителе все элементы какой-либо строки (столбца), кроме одного, равны нулю, то при вычислении определителя его удобно разложить по элементам этой строки (столбца).

Пример.

│Е n │= = 1 × │E n -1 │ = … = │E 3 │= 1

Свойства определителей.

Определение. Матрицу вида

или

будем называть треугольной матрицей.

Свойство 1. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали, т.е.

= =

Свойство 2. Определитель матрицы с нулевой строкой или нулевым столбцом равен нулю.

Свойство 3. . При транспонировании матрицы определитель не изменяется, т.е.

│А│= │А t │.

Свойство 4. Если матрица В получается из матрицы А умножением каждого Элемента некоторой строки на число k, то

│В│= k│А│

Свойство 5.

= =

Свойство 6. Если матрица В получается из матрицы А перестановкой двух строк, то │В│= −│А│.

Свойство 7. Определитель матрицы с пропорциональными строками равен нулю, в частности, нулю равен определитель матрицы с двумя одинаковыми строками.

Свойство 8. Определитель матрицы не изменяется, если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки матрицы, умноженные на некоторое число.

Замечание. Так как по свойству 3 определитель матрицы не меняется при транспонировании, то все свойства о строках матрицы верны и для столбцов.

Свойство 9. Если А и В ─ квадратные матрицы порядка n, то │АВ│=│А││В│.

Обратная матрица.

Определение. Квадратная матрица А порядка n называется обратной, если существует матрица В такая, что АВ = ВА = Е n . В этом случае матрица В называется обратной к матрице А и обозначается А -1 .

Теорема 2. Справедливы следующие утверждения:

1) если матрица А обратима, то существует точно одна ей обратная матрица;

2) обратная матрица имеет определитель, отличный от нуля;

3) если А и В ─ обратные матрицы порядка n, то матрица АВ обратима, причём (АВ) -1 =

В -1 ×А -1 .

Доказательство.

1) Пусть В и С ─ матрицы, обратные к матрице А, т.е. АВ = ВА = Е n и АС = СА = Е n. Тогда В = ВЕ n = В(АС) = (ВА)С = Е n С = С.

2) Пусть матрица А обратима. Тогда существует матрица А -1 , ей обратная, причём

По свойству 9 определителя │АА -1 │=│А││А -1 │. Тогда │А││А -1 │=│Е n │, откуда

│А││А -1 │= 1.

Следовательно, │А│¹ 0.

3) Действительно,

(АВ)(В -1 А -1) = (А(ВВ -1))А -1 = (АЕ n)А -1 = АА -1 = Е n.

(В -1 А -1)(АВ) = (В -1 (А -1 А))В = (В -1 Е n)В = В -1 В = Е n.

Следовательно, АВ ─обратимая матрица, причём (АВ) -1 = В -1 А -1 .

Следующая теорема даёт критерий существования обратной матрицы и способ её вычисления.

Теорема 3. Квадратная матрица А обратима тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля. Если │А│¹ 0, то

А -1 = =

Пример. Найти матрицу, обратную для матрицы А =

Решение. │А│= = 6 + 1 = 7.

Так как │А│¹ 0, то существует обратная матрица

А -1 = =

Вычисляем А 11 = 3, А 12 = 1, А 21 = -1, А 22 = 2.

А -1 = .

Лекция 7.

Системы линейных уравнений. Критерий совместности системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Правило Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений.

Систем линейных уравнений.

Совокупность уравнений вида

(1)

называется системой m линейных уравнений с n неизвестными х 1, х 2, …, х n . Числа a ij называются коэффициентами системы, а числа b i ─ свободными членами.

Решением системы (1) называется совокупность чисел с 1 , с 2 ,…, с n , при подстановке которых в систему (1) вместо х 1 , х 2 ,…,х n , получаем верные числовые равенства.

Решить систему ─ значит найти все её решения или доказать, что их нет. Система называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если решений нет.

Матрица, составленная из коэффициентов системы

А =

Называется матрицей системы (1). Если к матрице системы добавить столбец свободных членов, то получим матрицу

В =
,

которую называют расширенной матрицей системы (1).

Если обозначим

Х = , С = , то систему (1) можно записать в виде матричного уравнения АХ=С.

Матрица - это особый объект в математике. Изображается в форме прямоугольной или квадратной таблицы, сложенной из определенного числа строк и столбцов. В математике имеется большое разнообразие видов матриц, различающихся по размерам или содержанию. Числа ее строк и столбцов именуются порядками. Эти объекты употребляются в математике для упорядочивания записи систем линейных уравнений и удобного поиска их результатов. Уравнения с использованием матрицы решаются посредством метода Карла Гаусса, Габриэля Крамера, миноров и алгебраических дополнений, а также многими другими способами. Базовым умением при работе с матрицами является приведение к Однако для начала давайте разберемся, какие виды матриц выделяют математики.

Нулевой тип

Все компоненты этого вида матрицы - нули. Между тем, число ее строк и столбцов абсолютно различно.

Квадратный тип

Количество столбцов и строк этого вида матрицы совпадает. Иначе говоря, она представляет собой таблицу формы "квадрат". Число ее столбцов (или строк) именуются порядком. Частными случаями считается существование матрицы второго порядка (матрица 2x2), четвертого порядка (4x4), десятого (10x10), семнадцатого (17x17) и так далее.

Вектор-стобец

Это один из простейших видов матриц, содержащий только один столбец, который включает в себя три численных значения. Она представляет ряд свободных членов (чисел, независимых от переменных) в системах линейных уравнений.

Вид, аналогичный предыдущему. Состоит из трех численных элементов, в свою очередь организованных в одну строку.

Диагональный тип

Числовые значения в диагональном виде матрицы принимают только компоненты главной диагонали (выделена зеленым цветом). Основная диагональ начинается с элемента, находящегося в левом верхнем углу, а заканчивается элементом в правом нижнем соответственно. Остальные компоненты равны нулю. Диагональный тип представляет собой только квадратную матрицу какого-либо порядка. Среди матриц диагонального вида можно выделить скалярную. Все ее компоненты принимают одинаковые значения.

Подвид диагональной матрицы. Все ее числовые значения являются единицами. Используя единичный тип матричных таблиц, выполняют ее базовые преобразования или находят матрицу, обратную исходной.

Канонический тип

Канонический вид матрицы считается одним из основных; приведение к нему часто необходимо для работы. Число строк и столбцов в канонической матрице различно, она необязательно принадлежит к квадратному типу. Она несколько похожа на единичную матрицу, однако в ее случае не все компоненты основной диагонали принимают значение, равное единице. Главнодиагональных единиц может быть две, четыре (все зависит от длины и ширины матрицы). Или единицы могут не иметься вовсе (тогда она считается нулевой). Остальные компоненты канонического типа, как и элементы диагонального и единичного, равны нулю.

Треугольный тип

Один из важнейших видов матрицы, применяемый при поиске ее детерминанта и при выполнении простейших операций. Треугольный тип происходит от диагонального, поэтому матрица также является квадратной. Треугольный вид матрицы подразделяют на верхнетреугольный и нижнетреугольный.

В верхнетреугольной матрице (рис. 1) только элементы, которые находятся над главной диагональю, принимают значение, равное нулю. Компоненты же самой диагонали и части матрицы, располагающейся под ней, содержат числовые значения.

В нижнетреугольной (рис. 2), наоборот, элементы, располагающиеся в нижней части матрицы, равны нулю.

Вид необходим для нахождения ранга матрицы, а также для элементарных действий над ними (наряду с треугольным типом). Ступенчатая матрица названа так, потому что в ней содержатся характерные "ступени" из нулей (как показано на рисунке). В ступенчатом типе образуется диагональ из нулей (необязательно главная), и все элементы под данной диагональю тоже имеют значения, равные нулю. Обязательным условием является следующее: если в ступенчатой матрице присутствует нулевая строка, то остальные строки, находящиеся ниже нее, также не содержат числовых значений.

Таким образом, мы рассмотрели важнейшие типы матриц, необходимые для работы с ними. Теперь разберемся с задачей преобразования матрицы в требуемую форму.

Приведение к треугольному виду

Как же привести матрицу к треугольному виду? Чаще всего в заданиях нужно преобразовать матрицу в треугольный вид, чтобы найти ее детерминант, по-другому называемый определителем. Выполняя данную процедуру, крайне важно "сохранить" главную диагональ матрицы, потому что детерминант треугольной матрицы равен именно произведению компонентов ее главной диагонали. Напомню также альтернативные методы нахождения определителя. Детерминант квадратного типа находится при помощи специальных формул. Например, можно воспользоваться методом треугольника. Для других матриц используют метод разложения по строке, столбцу или их элементам. Также можно применять метод миноров и алгебраических дополнений матрицы.

Подробно разберем процесс приведения матрицы к треугольному виду на примерах некоторых заданий.

Задание 1

Необходимо найти детерминант представленной матрицы, используя метод приведения его к треугольному виду.

Данная нам матрица представляет собой квадратную матрицу третьего порядка. Следовательно, для ее преобразования в треугольную форму нам понадобится обратить в нуль два компонента первого столбца и один компонент второго.

Чтобы привести ее к треугольному виду, начнем преобразование с левого нижнего угла матрицы - с числа 6. Чтобы обратить его в нуль, умножим первую строку на три и вычтем ее из последней строки.

Важно! Верхняя строка не изменяется, а остается такой же, как и в исходной матрице. Записывать строку, в четыре раза большую исходной, не нужно. Но значения строк, компоненты которых нужно обратить в нуль, постоянно меняются.

Осталось только последнее значение - элемент третьей строки второго столбца. Это число (-1). Чтобы обратить его в нуль, из первой строки вычтем вторую.

Выполним проверку:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Значит, ответ к заданию: -22.

Задание 2

Нужно найти детерминант матрицы методом приведения его к треугольному виду.

Представленная матрица принадлежит к квадратному типу и является матрицей четвертого порядка. Значит, необходимо обратить в нуль три компонента первого столбца, два компонента второго столбца и один компонент третьего.

Начнем приведение ее с элемента, находящегося в нижнем углу слева, - с числа 4. Нам нужно обратить данное число в нуль. Удобнее всего сделать это, умножив на четыре верхнюю строку, а затем вычесть ее из четвертой. Запишем итог первого этапа преобразования.

Итак, компонент четвертой строки обращен в нуль. Перейдем к первому элементу третьей строки, к числу 3. Выполняем аналогичную операцию. Умножаем на три первую строку, вычитаем ее из третьей строки и записываем результат.

Нам удалось обратить в нуль все компоненты первого столбца данной квадратной матрицы, за исключением числа 1 - элемента главной диагонали, не требующего преобразования. Теперь важно сохранить полученные нули, поэтому будем выполнять преобразования со строками, а не со столбцами. Перейдем ко второму столбцу представленной матрицы.

Снова начнем с нижней части - с элемента второго столбца последней строки. Это число (-7). Однако в данном случае удобнее начать с числа (-1) - элемента второго столбца третьей строки. Чтобы обратить его в нуль, вычтем из третьей строки вторую. Затем умножим вторую строку на семь и вычтем ее из четвертой. Мы получили нуль вместо элемента, расположенного в четвертой строке второго столбца. Теперь перейдем к третьему столбцу.

В данном столбце нам нужно обратить в нуль только одно число - 4. Сделать это несложно: просто прибавляем к последней строке третью и видим необходимый нам нуль.

После всех произведенных преобразований мы привели предложенную матрицу к треугольному виду. Теперь, чтобы найти ее детерминант, нужно только произвести умножение получившихся элементов главной диагонали. Получаем: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Следовательно, решением является число 160.

Итак, теперь вопрос приведения матрицы к треугольному виду вас не затруднит.

Приведение к ступенчатому виду

При элементарных операциях над матрицами ступенчатый вид является менее "востребованным", чем треугольный. Чаще всего он используется для нахождения ранга матрицы (т. е. количества ее ненулевых строк) или для определения линейно зависимых и независимых строк. Однако ступенчатый вид матрицы является более универсальным, так как подходит не только для квадратного типа, но и для всех остальных.

Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду, сначала нужно найти ее детерминант. Для этого подойдут вышеназванные методы. Цель нахождения детерминанта такова: выяснить, можно ли преобразовать ее в ступенчатый вид матрицы. Если детерминант больше или меньше нуля, то можно спокойно приступать к заданию. Если же он равен нулю, выполнить приведение матрицы к ступенчатому виду не получится. В таком случае нужно проверить, нет ли ошибок в записи или в преобразованиях матрицы. Если подобных неточностей нет, задание решить невозможно.

Рассмотрим, как привести матрицу к ступенчатому виду на примерах нескольких заданий.

Задание 1. Найти ранг данной матричной таблицы.

Перед нами квадратная матрица третьего порядка (3x3). Мы знаем, что для нахождения ранга необходимо привести ее к ступенчатому виду. Поэтому сначала нам необходимо найти детерминант матрицы. Воспользуемся методом треугольника: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Детерминант = 12. Он больше нуля, значит, матрицу можно привести к ступенчатому виду. Приступим к ее преобразованиям.

Начнем его с элемента левого столбца третьей строки - числа 2. Умножаем верхнюю строку на два и вычитаем ее из третьей. Благодаря этой операции как нужный нам элемент, так и число 4 - элемент второго столбца третьей строки - обратились в нуль.

Мы видим, что в результате приведения образовалась треугольная матрица. В нашем случае продолжить преобразование нельзя, так как остальные компоненты не удастся обратить в нуль.

Значит, делаем вывод, что количество строк, содержащих числовые значения, в данной матрице (или ее ранг) - 3. Ответ к заданию: 3.

Задание 2. Определить количество линейно независимых строк данной матрицы.

Нам требуется найти такие строки, которые нельзя какими-либо преобразованиями обратить в нуль. Фактически нам нужно найти количество ненулевых строк, или ранг представленной матрицы. Для этого выполним ее упрощение.

Мы видим матрицу, не принадлежащую к квадратному типу. Она имеет размеры 3x4. Начнем приведение также с элемента левого нижнего угла - числа (-1).

Дальнейшие ее преобразования невозможны. Значит, делаем вывод, что количество линейно независимых строк в ней и ответ к заданию - 3.

Теперь приведение матрицы к ступенчатому виду не является для вас невыполнимым заданием.

На примерах данных заданий мы разобрали приведение матрицы к треугольному виду и ступенчатому виду. Чтобы обратить в нуль нужные значения матричных таблиц, в отдельных случаях требуется проявить фантазию и правильно преобразовать их столбцы или строки. Успехов вам в математике и в работе с матрицами!